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Matemáticas

Calculadora de logaritmos

¿Cuánto vale el logaritmo de este número?

Por Equipo Calculika · EditorActualizado:
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Concepto

¿Qué es un logaritmo?

Calcula el logaritmo de un número en cualquier base: base 10 (logaritmo común), base e (logaritmo natural o ln), base 2 o una base personalizada. El logaritmo responde a la pregunta «¿a qué exponente hay que elevar la base para obtener el número?». Es la operación inversa de la potencia y aparece en escalas como el pH, los decibelios o la magnitud de los terremotos. La calculadora muestra el resultado y el cálculo por cambio de base.

Método

¿Cómo se calcula un logaritmo?

log_b(x) = ln(x) / ln(b) · log_b(x) = y significa b^y = x
  1. Escribe el número x (debe ser positivo) y elige la base: 10, e, 2 o una base personalizada.
  2. El logaritmo busca el exponente al que hay que elevar la base para obtener x.
  3. Si la base no es 10, e o 2, se usa el cambio de base: log_b(x) = ln(x) / ln(b).
  4. El resultado es ese exponente; puedes comprobarlo elevando la base al resultado y viendo que da x.

¿Por qué este resultado?

  1. Logaritmo pedidolog con base 10 de 1,000
  2. Significado10^y = 1,000 → buscar el exponente y
  3. Resultado3

Casos

Ejemplos resueltos de logaritmos

  1. Perú

    Logaritmo en base 10

    El logaritmo en base 10 de 1000 es 3, porque 10 × 10 × 10 = 1000. Cada vez que multiplicas por diez el logaritmo decimal sube exactamente 1: el de 100 es 2 y el de 10000 es 4. Esa es toda la idea del logaritmo: convertir multiplicaciones en sumas.

  2. Perú

    Logaritmo en base 2

    El logaritmo en base 2 de 8 es 3, porque 2 × 2 × 2 = 8. En computación mide cuántas veces puedes partir algo por la mitad: el logaritmo en base 2 de 1024 es 10, y por eso una búsqueda binaria sobre mil elementos necesita alrededor de diez comparaciones y no mil.

  3. Perú

    Logaritmo natural y cambio de base

    El logaritmo de 1 es 0 en cualquier base, y el de la propia base es 1: por eso ln(e) = 1. Si la base no es 10, e ni 2, aplicas el cambio de base dividiendo el logaritmo natural del número entre el de la base. La escala de Richter y el pH son logarítmicas por la misma razón: comprimen rangos enormes en cifras que se pueden leer de un vistazo.

Referencia

Tabla de logaritmos sencillos

LogaritmoResultadoPorque
log₁₀(1)010^0 = 1
log₁₀(100)210^2 = 100
log₁₀(1000)310^3 = 1000
log₂(8)32^3 = 8
log₂(1024)102^10 = 1024

Aplicaciones

¿Para qué sirven los logaritmos?

  • Resolver ecuaciones exponenciales despejando el exponente.
  • Trabajar con escalas logarítmicas: pH, decibelios, escala de Richter.
  • Calcular el tiempo necesario para que una inversión se multiplique.
  • Medir la complejidad de algoritmos (logaritmo en base 2).
  • Convertir entre logaritmos de distintas bases con el cambio de base.
  • Comprobar ejercicios de matemáticas de bachillerato y universidad.

Dudas

Preguntas frecuentes sobre logaritmos

¿Qué es un logaritmo?

Es el exponente al que hay que elevar una base para obtener un número. Por ejemplo, el logaritmo en base 10 de 1000 es 3, porque 10 elevado a 3 da 1000. Es la operación inversa de la potencia.

¿Qué es el logaritmo natural (ln)?

Es el logaritmo en base e, donde e es la constante de Euler, un número irracional un poco mayor que 2. Se escribe ln y aparece de forma natural en el crecimiento continuo, el interés compuesto y muchas fórmulas de física y estadística.

¿Qué es el logaritmo común o decimal?

Es el logaritmo en base 10, que suele escribirse simplemente como log. Es muy cómodo porque cada unidad equivale a multiplicar por 10: el log de 10 es 1, el de 100 es 2 y el de 1000 es 3.

¿Qué es el logaritmo en base 2?

Es el exponente al que hay que elevar el 2 para obtener el número. Es muy usado en informática: el logaritmo en base 2 de 1024 es 10, porque 2 elevado a 10 da 1024. Mide, por ejemplo, cuántas veces se puede dividir algo por la mitad.

¿Cómo funciona el cambio de base?

Para calcular un logaritmo en una base cualquiera con una calculadora que solo tiene ln o log, se divide: log_b(x) = ln(x) / ln(b). El resultado es el mismo sea cual sea el logaritmo que uses arriba y abajo, siempre que ambos tengan la misma base.

¿Por qué el número debe ser positivo?

Porque una base positiva elevada a cualquier exponente siempre da un resultado positivo, así que nunca puede dar 0 ni un número negativo. Por eso el logaritmo de 0 o de un número negativo no existe en los números reales.

¿Cuánto vale el logaritmo de 1 y el de la propia base?

El logaritmo de 1 es siempre 0 en cualquier base, porque cualquier base elevada a 0 da 1. Y el logaritmo de la propia base es siempre 1, porque la base elevada a 1 es ella misma.

¿Qué propiedades tienen los logaritmos?

Las tres principales: el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos; el de un cociente es la resta; y el de una potencia es el exponente multiplicado por el logaritmo de la base. Estas reglas convierten multiplicaciones en sumas y simplifican muchos cálculos.

¿La base puede ser 1 o negativa?

No. La base debe ser positiva y distinta de 1. Una base de 1 no sirve porque 1 elevado a cualquier exponente siempre da 1, y una base negativa no produce una función bien definida. La calculadora avisa si introduces una base no válida.

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