Qué es una potencia
Una potencia es una multiplicación repetida del mismo factor. Se escribe bⁿ, donde b es la base (el número que se repite) y n es el exponente (cuántas veces se repite). Así, 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 y 5² = 5 × 5 = 25. El exponente 2 se lee «al cuadrado» y el 3 «al cubo».
| Exponente (n) | 2ⁿ | 10ⁿ |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 2 | 10 |
| 2 | 4 | 100 |
| 3 | 8 | 1000 |
| 4 | 16 | 10000 |
| 5 | 32 | 100000 |
| 6 | 64 | 1000000 |
Las leyes de los exponentes
Las leyes de los exponentes son atajos que evitan tener que escribir la multiplicación entera cada vez. Todas se deducen contando factores.
- Producto de igual base: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ (se suman los exponentes).
- Cociente de igual base: aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (se restan los exponentes).
- Potencia de una potencia: (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ (se multiplican los exponentes).
- Potencia de un producto: (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ.
- Exponente cero: a⁰ = 1 para todo a ≠ 0.
- Exponente negativo: a⁻ⁿ = 1 / aⁿ.
- Exponente fraccionario: a^(1/n) = ⁿ√a (una raíz).
Producto de potencias: 2³ · 2² = 2⁵
Al multiplicar potencias de la misma base, los exponentes se suman: 2³ · 2² = 2³⁺² = 2⁵. Tiene sentido contando factores: tres doses por dos doses son cinco doses en total.
Potencia de una potencia: (2²)³ = 2⁶
Cuando una potencia se eleva a otro exponente, los exponentes se multiplican: (2²)³ = 2²·³ = 2⁶. Es lógico: elevar 2² al cubo es multiplicar 2² tres veces, y cada 2² aporta dos factores.
Cociente y exponente negativo
Al dividir potencias de la misma base, los exponentes se restan: 2⁵ ÷ 2² = 2⁵⁻² = 2³. Y cuando el exponente de abajo es mayor que el de arriba, aparece un exponente negativo, que es lo mismo que invertir: a⁻ⁿ = 1 / aⁿ.
Un exponente negativo invierte la base: 2⁻² = 1 / 2² = 1 / 4 = 0.25. Fíjate en que el resultado es positivo: el signo del exponente solo indica que hay que dividir, no que el resultado sea negativo.
Exponente cero, negativo y fraccionario
Cualquier número distinto de cero elevado a 0 vale 1: a⁰ = 1. Se ve desde el cociente: aⁿ ÷ aⁿ = aⁿ⁻ⁿ = a⁰, y como todo número dividido por sí mismo da 1, entonces a⁰ = 1.
Hay un caso especial: 0⁰. En ciertos contextos es una indeterminación, pero por convención —y así lo hace la calculadora— se toma 0⁰ = 1, porque simplifica fórmulas como el binomio de Newton y las series de potencias.
Un exponente fraccionario es una raíz: a^(1/2) = √a y a^(1/3) = ³√a. Por eso 9^(1/2) = √9 = 3 y 8^(1/3) = ³√8 = 2. Si quieres profundizar en el caso más frecuente, la calculadora de raíz cuadrada resuelve a^(1/2) al instante.
De dónde viene la notación con superíndices
Escribir a³ en lugar de «a por a por a» parece obvio hoy, pero es relativamente reciente. La notación moderna con superíndices la introdujo el filósofo y matemático René Descartes en su obra La Géométrie (1637), aunque al principio solo para exponentes enteros positivos. Los exponentes negativos y fraccionarios en notación moderna llegaron algo después, con Isaac Newton (1676). Antes, las potencias se escribían de formas mucho más engorrosas.
Dónde aparecen las potencias
Las potencias están por todas partes: el área crece con el cuadrado del lado (L²), el volumen con el cubo (L³), el interés compuesto eleva (1 + i) al número de periodos y la notación científica expresa números enormes como potencias de 10. También son el corazón de las ecuaciones de segundo grado, donde el término x² define la parábola: puedes resolverlas con la calculadora de ecuación cuadrática.
Errores más comunes
- Multiplicar la base por el exponente: 2³ no es 2 × 3 = 6, es 2 × 2 × 2 = 8.
- Sumar exponentes con bases distintas: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ solo vale si la base es la misma; 2³ · 3² no se simplifica así.
- Creer que (a + b)² = a² + b²: es falso. (a + b)² = a² + 2ab + b².
- Olvidar el signo: (−2)⁴ = 16 (exponente par → positivo), pero (−2)³ = −8 (impar → negativo). Y −2⁴ = −16, porque sin paréntesis el exponente afecta solo al 2.
- Confundir un exponente negativo con un resultado negativo: 2⁻² = 1 / 4 es un número positivo; el signo del exponente no cambia el signo del resultado.
Cuándo conviene usar la calculadora
Para exponentes grandes, negativos o fraccionarios, o cuando el resultado importa, usa la calculadora de potencias: calcula bⁿ con precisión, respeta la convención 0⁰ = 1 y avisa cuando una base negativa con exponente fraccionario no tiene resultado real.
Fuentes y metodología
Las potencias son matemática universal y verificable: cada ley de esta guía se comprueba contando factores (multiplicación repetida). Para el origen de la notación con superíndices citamos una fuente académica.