Calculadora de ecuación cuadrática

Resuelve cualquier ecuación cuadrática de la forma ax² + bx + c = 0 mediante la fórmula general. Muestra el discriminante (b² − 4ac), las raíces reales (cuando existen), el vértice de la parábola y un paso a paso completo. Cuando a = 0 la ecuación deja de ser cuadrática y la calculadora la resuelve como lineal. Útil en álgebra escolar, problemas de física (movimiento parabólico, caída libre), economía (puntos de equilibrio) e ingeniería.

1. 1Introduce los coeficientes a, b y c de la ecuación ax² + bx + c = 0.
2. 2La calculadora calcula primero el discriminante D = b² − 4ac.
3. 3Si D > 0 hay dos raíces reales distintas. Si D = 0 hay una raíz doble (raíz repetida). Si D < 0 no hay raíces reales (la parábola no corta al eje x).
4. 4Para las raíces reales se aplica la fórmula general: x = (−b ± √D) / (2a). La calculadora muestra ambas raíces y el vértice de la parábola.

1. México

   Lanzamiento de proyectil

   Lanzas una pelota con velocidad inicial 20 m/s desde el suelo. Altura: h(t) = 20t − 4.9t². Tiempo de vuelo (cuando vuelve al suelo): 4.9t² − 20t = 0 → t(4.9t − 20) = 0 → t = 0 (inicio) o t = 20/4.9 ≈ 4.08 s. La pelota está en el aire ~4 segundos.

2. México

   Punto de equilibrio

   Tu negocio en Guadalajara tiene ingresos I(x) = 50x − x² y costos C(x) = 200 + 10x, donde x = unidades vendidas. Punto de equilibrio I = C: 50x − x² = 200 + 10x → x² − 40x + 200 = 0. Discriminante = 1600 − 800 = 800 > 0. Raíces: x ≈ 5.86 y x ≈ 34.14. Vendiendo entre 6 y 34 unidades obtienes ganancia.

3. México

   Marco para un cuadro

   Tu marco para un cuadro tiene grosor uniforme x cm. El cuadro mide 30 × 20 cm; el marco más cuadro debe medir 600 + 132x + 4x² = 800 cm² (la nueva área total). Resolviendo 4x² + 132x − 200 = 0, o x² + 33x − 50 = 0: x ≈ 1.46 cm. Diseña con marco de 1.5 cm de grosor.

• Resolver problemas de física: caída libre, lanzamiento de proyectiles, movimiento uniformemente acelerado.
• Encontrar el punto de equilibrio entre costes e ingresos (economía).
• Calcular el vértice de una parábola en geometría analítica.
• Diseñar curvas parabólicas en ingeniería (puentes, antenas satelitales).
• Optimizar funciones cuadráticas (maximizar área dado un perímetro fijo).
• Resolver problemas escolares de álgebra (Bachillerato / Preparatoria).

¿Qué es el discriminante y para qué sirve?▾

El discriminante es D = b² − 4ac. Indica cuántas raíces reales tiene la ecuación: D > 0 dos raíces distintas, D = 0 una raíz doble, D < 0 ninguna raíz real (las raíces son complejas conjugadas). Geométricamente representa si la parábola corta al eje x dos veces, lo toca tangencialmente o no lo toca.

¿Qué pasa si el discriminante es negativo?▾

Si D = b² − 4ac < 0 la ecuación no tiene raíces reales: las soluciones son números complejos conjugados de la forma α ± βi (con β ≠ 0). Esta calculadora trabaja en los reales y muestra un aviso claro. Para resolver con complejos necesitas una calculadora científica o un software de álgebra computacional.

¿Y si a = 0?▾

Si a = 0 la ecuación deja de ser cuadrática y pasa a ser lineal: bx + c = 0, con solución única x = −c/b (siempre que b ≠ 0). La calculadora detecta este caso y lo resuelve como ecuación lineal. Si tanto a como b son cero, queda c = 0 — sin solución si c ≠ 0, o solución universal si c = 0.

¿Cuándo hay una sola solución (raíz doble)?▾

Cuando D = 0 hay una raíz doble (repetida): x = −b/(2a). Geométricamente, la parábola toca el eje x exactamente en un punto (es tangente al eje). Ejemplos: x² − 4x + 4 = 0 (raíz doble en x = 2); 4x² − 12x + 9 = 0 (raíz doble en x = 1.5).

¿Qué es el vértice de la parábola?▾

Es el punto más alto (si a < 0) o más bajo (si a > 0) de la parábola. Coordenadas: x_v = −b/(2a), y_v = c − b²/(4a) = −D/(4a). Si las raíces son reales, el vértice está justo en el punto medio entre ellas. El vértice es el valor óptimo en problemas de maximización / minimización.

¿Cómo se factoriza una cuadrática conociendo sus raíces?▾

Si las raíces son r₁ y r₂, la ecuación factorizada es a × (x − r₁)(x − r₂) = 0. Por ejemplo, si las raíces de 2x² − 10x + 12 = 0 son 2 y 3, la factorización es 2(x − 2)(x − 3). Al desarrollar el producto se recupera la forma original. La factorización es útil para análisis y simplificación.

¿Cómo se relacionan los coeficientes con las raíces?▾

Fórmulas de Vieta: para ax² + bx + c = 0 con raíces r₁ y r₂, se cumple que r₁ + r₂ = −b/a (suma) y r₁ × r₂ = c/a (producto). Útil para verificar resultados sin resolver: si encuentras raíces 3 y 4 para x² − 7x + 12 = 0, comprueba: 3 + 4 = 7 = −(−7)/1 ✓ y 3 × 4 = 12 = 12/1 ✓.

¿Hay ecuaciones cuadráticas en la vida real?▾

Muchas: caída libre (h = h₀ + v₀t − (g/2)t²), lanzamiento parabólico (alcance, altura máxima), interés compuesto a corto plazo, área de un rectángulo cuyo lado debe satisfacer dos condiciones, costes mínimos en producción, antenas parabólicas, puentes en arco. Cualquier problema donde una cantidad depende cuadráticamente de otra te lleva a una cuadrática.

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