La fórmula general que resuelve cualquier cuadrática
Toda ecuación de segundo grado se puede escribir como ax² + bx + c = 0, con a ≠ 0. Sus soluciones (las raíces) salen siempre de la misma fórmula: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). A la cantidad de dentro de la raíz, b² − 4ac, se la llama discriminante y se escribe Δ; la calculadora la muestra como D, pero es la misma cantidad.
En España la llamamos fórmula general, o simplemente la fórmula de la ecuación de segundo grado.
El discriminante Δ = b² − 4ac y sus tres casos
El corazón del método es el discriminante, Δ = b² − 4ac. Ese b² es una potencia —b elevado al cuadrado, es decir b × b—; si necesitas repasar cómo operar con exponentes, mira la calculadora de potencias. El signo de Δ decide cuántas soluciones hay antes incluso de calcularlas.
Cuando Δ es positivo, la fórmula te pide su raíz cuadrada, √Δ. Si Δ es un cuadrado perfecto (1, 4, 9, 16…) la raíz es exacta; si no, sale un número irracional —por ejemplo √2 ≈ 1,41— y conviene dejarlo indicado o redondear. Para esa raíz puedes usar la calculadora de raíz cuadrada.
| Discriminante | Soluciones | Ejemplo | Raíces |
|---|---|---|---|
| Δ > 0 (positivo) | Dos raíces reales distintas | x² − 5x + 6 = 0 | x = 2 y x = 3 |
| Δ = 0 (cero) | Una raíz doble (repetida) | x² − 4x + 4 = 0 | x = 2 |
| Δ < 0 (negativo) | Sin solución real (raíces complejas) | x² + x + 1 = 0 | Δ = −3 → ninguna real |
Resolverla paso a paso
- Se escribe la ecuación en la forma ax² + bx + c = 0 y se identifican los coeficientes a, b y c (con a ≠ 0).
- Se calcula el discriminante Δ = b² − 4ac.
- Se mira el signo de Δ: si es positivo hay dos raíces; si es cero, una raíz doble; si es negativo, ninguna raíz real.
- Se sustituyen los valores en x = (−b ± √Δ) / (2a): el signo + da una raíz y el − da la otra.
Cuando las raíces son negativas
Las raíces no siempre son positivas. Fíjate en x² + 5x + 6 = 0: como b = 5 es positivo, las dos soluciones salen negativas, x = −2 y x = −3.
Cuando Δ = 0: una sola raíz (doble)
Cuando el discriminante es exactamente cero, las dos raíces de la fórmula coinciden: el ± deja de importar porque √0 = 0. Queda una única solución, x = −b / (2a), que se llama raíz doble. La parábola, en lugar de cruzar el eje x, lo toca en un solo punto (es tangente).
Cuando Δ < 0: sin solución real (y los números complejos)
¿Y si Δ es negativo? Aquí muchos manuales se detienen con un «no tiene solución». Es cierto que no hay solución real: la raíz cuadrada de un número negativo no existe entre los reales, así que la parábola no corta al eje x. Pero sí hay dos soluciones complejas conjugadas, de la forma α ± βi, donde i = √(−1). Por ejemplo, x² + x + 1 = 0 tiene Δ = 1 − 4 = −3, y sus soluciones son (−1 ± √3·i) / 2. En el cole suele bastar con decir «sin solución real»; en niveles avanzados, esas raíces complejas son tan válidas como cualquier otra.
¿Por qué funciona? Completar el cuadrado
La fórmula no es magia: se deduce «completando el cuadrado». Se parte de ax² + bx + c = 0, se divide todo entre a y se pasa el término independiente al otro lado. Después se suma a ambos lados (b/2a)² para que la parte de las x sea un cuadrado perfecto, (x + b/2a)². Al despejar x y simplificar aparece exactamente x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Por eso la fórmula es universal y auditable: no hay que creer en ella, se puede demostrar.
Errores más comunes
- Olvidar el signo de b al sustituir: si b = −5, entonces −b = +5, no −5.
- Confundir b² con 2b: b² = b × b. Para b = 6, b² es 36, no 12.
- Aplicar la fórmula con a = 0: si a = 0 no es una cuadrática, es una ecuación lineal bx + c = 0.
- Dar por «sin solución» un discriminante negativo sin más: no hay solución real, pero sí dos soluciones complejas conjugadas.
- Quedarse con una sola raíz: el signo ± significa que, salvo cuando Δ = 0, hay dos.
De Babilonia a Bhaskara: un poco de historia
Las ecuaciones de segundo grado se resuelven desde hace casi 4000 años: los babilonios (hacia 1800 a. C.) ya usaban métodos equivalentes a completar el cuadrado, sin notación algebraica. En el siglo IX, el matemático persa Al-Juarismi las sistematizó en su obra «Al-jabr wa'l-muqabala» — de «al-jabr» viene la palabra «álgebra». El nombre «fórmula de Bhaskara», común en América Latina, honra a Bhaskara II (1114–1185), que la expuso de forma clara y didáctica en el siglo XII; pero no la inventó: recoge y ordena un saber muy anterior. La notación simbólica moderna se fija entre los siglos XV y XVII. En resumen: ninguna persona «descubrió» la fórmula de golpe; es el fruto de milenios de matemática acumulada.
Cuándo conviene usar la calculadora
Para coeficientes con decimales, discriminantes que no son cuadrados perfectos o cuando el resultado importa (un examen, un problema de física), usa la calculadora de ecuación cuadrática: te da las dos raíces, el discriminante, el vértice y el paso a paso para que compruebes cada cuenta.
Fuentes y metodología
El álgebra de la ecuación de segundo grado es matemática universal y verificable: la fórmula se deduce completando el cuadrado y cada ejemplo de esta guía está comprobado. Para la parte histórica citamos una fuente académica.