Calculadora de ecuación cuadrática

Resuelve cualquier ecuación cuadrática de la forma ax² + bx + c = 0 mediante la fórmula general. Muestra el discriminante (b² − 4ac), las raíces reales (cuando existen), el vértice de la parábola y un paso a paso completo. Cuando a = 0 la ecuación deja de ser cuadrática y la calculadora la resuelve como lineal. Útil en álgebra escolar, problemas de física (movimiento parabólico, caída libre), economía (puntos de equilibrio) e ingeniería.

1. 1Introduce los coeficientes a, b y c de la ecuación ax² + bx + c = 0.
2. 2La calculadora calcula primero el discriminante D = b² − 4ac.
3. 3Si D > 0 hay dos raíces reales distintas. Si D = 0 hay una raíz doble (raíz repetida). Si D < 0 no hay raíces reales (la parábola no corta al eje x).
4. 4Para las raíces reales se aplica la fórmula general: x = (−b ± √D) / (2a). La calculadora muestra ambas raíces y el vértice de la parábola.

1. España

   Tiempo de caída libre

   Sueltas un objeto desde 20 m de altura. La altura en función del tiempo es h(t) = 20 − 4,9t² (g/2 ≈ 4,9). Para encontrar cuándo toca el suelo: 4,9t² = 20, t² = 4,08, t ≈ 2,02 s. La cuadrática resuelta es 4,9t² − 20 = 0; raíz positiva t ≈ 2,02 s, raíz negativa t ≈ −2,02 s (descartada físicamente).

2. España

   Rectángulo con área y perímetro dados

   Un rectángulo tiene área 24 m² y perímetro 20 m. Si lados son x e y: x + y = 10 y x × y = 24. Sustituyendo y = 10 − x: x(10 − x) = 24, x² − 10x + 24 = 0. Raíces: x = 4, x = 6. Los lados son 4 m y 6 m — un rectángulo, no un cuadrado (ya que tienen valores distintos).

3. España

   Coste mínimo de fabricación

   Una fábrica en Cataluña produce piezas con coste C(x) = x² − 60x + 1 000 €, donde x es la cantidad producida diaria. Para minimizar: el vértice es x = 60/(2 × 1) = 30 piezas. Coste mínimo C(30) = 900 − 1 800 + 1 000 = 100 €/unidad. Producir menos o más eleva el coste — eso es la curva en forma de U típica de funciones cuadráticas.

• Resolver problemas de física: caída libre, lanzamiento de proyectiles, movimiento uniformemente acelerado.
• Encontrar el punto de equilibrio entre costes e ingresos (economía).
• Calcular el vértice de una parábola en geometría analítica.
• Diseñar curvas parabólicas en ingeniería (puentes, antenas satelitales).
• Optimizar funciones cuadráticas (maximizar área dado un perímetro fijo).
• Resolver problemas escolares de álgebra (Bachillerato / Preparatoria).

¿Qué es el discriminante y para qué sirve?▾

El discriminante es D = b² − 4ac. Indica cuántas raíces reales tiene la ecuación: D > 0 dos raíces distintas, D = 0 una raíz doble, D < 0 ninguna raíz real (las raíces son complejas conjugadas). Geométricamente representa si la parábola corta al eje x dos veces, lo toca tangencialmente o no lo toca.

¿Qué pasa si el discriminante es negativo?▾

Si D = b² − 4ac < 0 la ecuación no tiene raíces reales: las soluciones son números complejos conjugados de la forma α ± βi (con β ≠ 0). Esta calculadora trabaja en los reales y muestra un aviso claro. Para resolver con complejos necesitas una calculadora científica o un software de álgebra computacional.

¿Y si a = 0?▾

Si a = 0 la ecuación deja de ser cuadrática y pasa a ser lineal: bx + c = 0, con solución única x = −c/b (siempre que b ≠ 0). La calculadora detecta este caso y lo resuelve como ecuación lineal. Si tanto a como b son cero, queda c = 0 — sin solución si c ≠ 0, o solución universal si c = 0.

¿Cuándo hay una sola solución (raíz doble)?▾

Cuando D = 0 hay una raíz doble (repetida): x = −b/(2a). Geométricamente, la parábola toca el eje x exactamente en un punto (es tangente al eje). Ejemplos: x² − 4x + 4 = 0 (raíz doble en x = 2); 4x² − 12x + 9 = 0 (raíz doble en x = 1,5).

¿Qué es el vértice de la parábola?▾

Es el punto más alto (si a < 0) o más bajo (si a > 0) de la parábola. Coordenadas: x_v = −b/(2a), y_v = c − b²/(4a) = −D/(4a). Si las raíces son reales, el vértice está justo en el punto medio entre ellas. El vértice es el valor óptimo en problemas de maximización / minimización.

¿Cómo se factoriza una cuadrática conociendo sus raíces?▾

Si las raíces son r₁ y r₂, la ecuación factorizada es a × (x − r₁)(x − r₂) = 0. Por ejemplo, si las raíces de 2x² − 10x + 12 = 0 son 2 y 3, la factorización es 2(x − 2)(x − 3). Al desarrollar el producto se recupera la forma original. La factorización es útil para análisis y simplificación.

¿Cómo se relacionan los coeficientes con las raíces?▾

Fórmulas de Vieta: para ax² + bx + c = 0 con raíces r₁ y r₂, se cumple que r₁ + r₂ = −b/a (suma) y r₁ × r₂ = c/a (producto). Útil para verificar resultados sin resolver: si encuentras raíces 3 y 4 para x² − 7x + 12 = 0, comprueba: 3 + 4 = 7 = −(−7)/1 ✓ y 3 × 4 = 12 = 12/1 ✓.

¿Hay ecuaciones cuadráticas en la vida real?▾

Muchas: caída libre (h = h₀ + v₀t − (g/2)t²), lanzamiento parabólico (alcance, altura máxima), interés compuesto a corto plazo, área de un rectángulo cuyo lado debe satisfacer dos condiciones, costes mínimos en producción, antenas parabólicas, puentes en arco. Cualquier problema donde una cantidad depende cuadráticamente de otra te lleva a una cuadrática.

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