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Calculadora de factorial

¿Cuánto es n factorial?

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Concepto

¿Qué es el factorial de un número?

Calcula el factorial de un entero no negativo n: n! = 1 × 2 × 3 × … × n. Por convención 0! = 1. La calculadora acepta valores hasta n = 170 — más allá, el resultado excede el rango de precisión de Number en JavaScript. Útil en combinatoria (permutaciones, combinaciones), probabilidad, estadística, series de Taylor en cálculo, y cualquier problema que involucre el número de formas de ordenar o agrupar elementos.

Método

¿Cómo se calcula el factorial?

n! = n × (n − 1) × (n − 2) × … × 2 × 1 (con 0! = 1 por convención)
  1. Introduce un entero no negativo n (de 0 a 170).
  2. La calculadora multiplica recursivamente desde 1 hasta n. Para n = 0, el resultado es 1 por convención matemática.
  3. Para n > 170 el resultado excede 1.7 × 10³⁰⁸ — fuera del rango del tipo Number. La calculadora muestra un error claro.
  4. El factorial crece muy rápido: 10! ≈ 3.6 millones; 20! ≈ 2.43 × 10¹⁸; 100! tiene 158 dígitos.

¿Por qué este resultado?

  1. Definiciónn! = 1 × 2 × 3 × … × n
  2. Sustitución1 × 2 × 3 × 4 × 5
  3. Resultado120

Casos

Ejemplos resueltos de factoriales

  1. México

    Equipos de trabajo en oficina

    Tu jefa tiene que formar un equipo de 3 personas de un grupo de 10 empleados. Combinaciones posibles: C(10, 3) = 10! / (3! × 7!) = 120. Si quiere considerar también el ROL (capitán, secretario, contador), entonces son permutaciones: P(10, 3) = 10! / 7! = 720 formas.

  2. México

    Probabilidad en juegos de cartas

    Una baraja española de 40 cartas se baraja antes de jugar. Número de barajadas distintas: 40! ≈ 8.16 × 10⁴⁷. Es un número astronómico — más combinaciones que átomos en el sistema solar. Cada vez que barajas, casi con certeza obtienes un orden NUNCA antes visto en la historia del universo.

  3. México

    Probabilidad en Melate de la Lotería Nacional

    En Melate eliges 6 números de 56. Combinaciones: C(56, 6) = 56! / (6! × 50!) = 32 468 436. Probabilidad de acertar los 6 al azar: 1/32 468 436 ≈ 0.0000031 %. Las loterías son fundamentalmente operaciones de factorial; el premio mayor se calcula sobre esa probabilidad.

Referencia

Tabla de factoriales (n = 0 a 50)

nn!
01
11
22
36
424
5120
6720
75 040
103 628 800
202.43 × 10¹⁸
503.04 × 10⁶⁴

Aplicaciones

¿Para qué sirve el factorial?

  • Calcular el número de permutaciones de n elementos.
  • Coeficientes binomiales C(n, k) = n! / (k! × (n−k)!).
  • Series de Taylor en cálculo (1/n! como coeficiente).
  • Distribución de Poisson y otras de la estadística.
  • Problemas de combinatoria escolar y olimpiadas matemáticas.
  • Análisis de algoritmos: la complejidad O(n!) aparece en problemas tipo viajante de comercio.

Dudas

Preguntas frecuentes sobre el factorial

¿Qué es un factorial?

El factorial de n (escrito n!) es el producto de todos los enteros positivos desde 1 hasta n. Por ejemplo, 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120. Es una operación que aparece muy seguido cuando contamos formas de ordenar cosas: el número de maneras de ordenar n objetos distintos es exactamente n!.

¿Y 0! por qué es 1?

Por convención matemática y por consistencia: hay exactamente UNA forma de ordenar cero elementos (la sucesión vacía), así que 0! = 1. Esta convención permite que las fórmulas combinatorias funcionen sin casos especiales — por ejemplo, C(n, 0) = n! / (0! × n!) = 1, lo cual es correcto (hay una forma de elegir 0 elementos).

¿Por qué se limita a n = 170?

171! supera el rango máximo del tipo Number en JavaScript (aproximadamente 1.7 × 10³⁰⁸). Para factoriales mayores hay que usar aritmética de precisión arbitraria (BigInt en JavaScript, librerías como decimal.js). Esta calculadora no la implementa porque para casi cualquier uso práctico, n ≤ 170 sobra.

¿Y los factoriales fraccionarios o de números negativos?

El factorial clásico se define solo para enteros no negativos. Para números reales (o complejos) se usa la función Gamma: Γ(n+1) = n!. La función Gamma extiende el factorial a todo el plano (excepto enteros negativos). Esta calculadora trabaja sólo con enteros no negativos; para Gamma usa software especializado.

¿Para qué sirve el factorial?

Combinatoria: número de permutaciones (n!), combinaciones (n! / (k! × (n−k)!)), variaciones (n! / (n−k)!). Estadística: distribución de Poisson, binomial. Cálculo: series de Taylor (1/n! como coeficiente). Computación: análisis de complejidad O(n!). El factorial aparece donde hay que contar formas de ordenar o agrupar.

¿Cuántas formas hay de ordenar 10 personas en fila?

10! = 3 628 800 formas. Es una cifra enorme: si cada persona se moviera de posición a una nueva fila cada segundo, ordenar todas las combinaciones tardaría más de 42 días. Esto explica por qué los algoritmos que prueban todas las permutaciones (orden de complejidad O(n!)) son inviables para n grandes.

¿Cómo se relaciona con C(n, k) y combinatoria?

El número de combinaciones de n elementos tomados de k en k es C(n, k) = n! / (k! × (n−k)!). Por ejemplo, en un grupo de 30 estudiantes el número de subgrupos de 4 personas es C(30, 4) = 30! / (4! × 26!) = 27 405. La calculadora de combinatoria usa factoriales internamente; aquí calculas el factorial puro.

¿Hay un truco para calcular factoriales sin multiplicar todos?

Para valores aproximados, la fórmula de Stirling es una excelente aproximación: n! ≈ √(2πn) × (n/e)ⁿ. Para 10!, da 3 598 696 (real: 3 628 800; error inferior al 1 %). Útil cuando el factorial exacto es demasiado grande para mostrar pero quieres el orden de magnitud. La calculadora interna hace la multiplicación exacta hasta n = 170.

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