Calculadora de factorial

Calcula el factorial de un entero no negativo n: n! = 1 × 2 × 3 × … × n. Por convención 0! = 1. La calculadora acepta valores hasta n = 170 — más allá, el resultado excede el rango de precisión de Number en JavaScript. Útil en combinatoria (permutaciones, combinaciones), probabilidad, estadística, series de Taylor en cálculo, y cualquier problema que involucre el número de formas de ordenar o agrupar elementos.

1. 1Introduce un entero no negativo n (de 0 a 170).
2. 2La calculadora multiplica recursivamente desde 1 hasta n. Para n = 0, el resultado es 1 por convención matemática.
3. 3Para n > 170 el resultado excede 1,7 × 10³⁰⁸ — fuera del rango del tipo Number. La calculadora muestra un error claro.
4. 4El factorial crece muy rápido: 10! ≈ 3,6 millones; 20! ≈ 2,43 × 10¹⁸; 100! tiene 158 dígitos.

1. España

   Orden de salida en una carrera de 6 corredores

   En una carrera popular en Madrid hay 6 corredores: el número de formas posibles en que pueden cruzar la meta (en orden) es 6! = 720. Si te apuestas con un amigo a adivinar el orden exacto, la probabilidad de acertar al azar es 1/720 ≈ 0,14 %. Por eso las apuestas exactas se pagan tan bien.

2. España

   Disposición de libros en biblioteca

   Tu hijo tiene 8 libros de Bachillerato en una balda. Formas de ordenarlos: 8! = 40 320. Si reorganizas la estantería cada día con un orden distinto, te llevará más de 110 años probar todas las combinaciones — y aún quedarían por probar.

3. España

   Loterías y combinatoria

   En La Primitiva española eliges 6 números de 49. El número de combinaciones es C(49, 6) = 49! / (6! × 43!) = 13 983 816. La probabilidad de acertar los 6 al azar es 1/13 983 816. El factorial es la base matemática de toda lotería de combinaciones.

• Calcular el número de permutaciones de n elementos.
• Coeficientes binomiales C(n, k) = n! / (k! × (n−k)!).
• Series de Taylor en cálculo (1/n! como coeficiente).
• Distribución de Poisson y otras de la estadística.
• Problemas de combinatoria escolar y olimpiadas matemáticas.
• Análisis de algoritmos: la complejidad O(n!) aparece en problemas tipo viajante de comercio.

¿Qué es un factorial?▾

El factorial de n (escrito n!) es el producto de todos los enteros positivos desde 1 hasta n. Por ejemplo, 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120. Es una operación que aparece muy seguido cuando contamos formas de ordenar cosas: el número de maneras de ordenar n objetos distintos es exactamente n!.

¿Y 0! por qué es 1?▾

Por convención matemática y por consistencia: hay exactamente UNA forma de ordenar cero elementos (la sucesión vacía), así que 0! = 1. Esta convención permite que las fórmulas combinatorias funcionen sin casos especiales — por ejemplo, C(n, 0) = n! / (0! × n!) = 1, lo cual es correcto (hay una forma de elegir 0 elementos).

¿Por qué se limita a n = 170?▾

171! supera el rango máximo del tipo Number en JavaScript (aproximadamente 1,7 × 10³⁰⁸). Para factoriales mayores hay que usar aritmética de precisión arbitraria (BigInt en JavaScript, librerías como decimal.js). Esta calculadora no la implementa porque para casi cualquier uso práctico, n ≤ 170 sobra.

¿Y los factoriales fraccionarios o de números negativos?▾

El factorial clásico se define solo para enteros no negativos. Para números reales (o complejos) se usa la función Gamma: Γ(n+1) = n!. La función Gamma extiende el factorial a todo el plano (excepto enteros negativos). Esta calculadora trabaja sólo con enteros no negativos; para Gamma usa software especializado.

¿Para qué sirve el factorial?▾

Combinatoria: número de permutaciones (n!), combinaciones (n! / (k! × (n−k)!)), variaciones (n! / (n−k)!). Estadística: distribución de Poisson, binomial. Cálculo: series de Taylor (1/n! como coeficiente). Computación: análisis de complejidad O(n!). El factorial aparece donde hay que contar formas de ordenar o agrupar.

¿Cuántas formas hay de ordenar 10 personas en fila?▾

10! = 3 628 800 formas. Es una cifra enorme: si cada persona se moviera de posición a una nueva fila cada segundo, ordenar todas las combinaciones tardaría más de 42 días. Esto explica por qué los algoritmos que prueban todas las permutaciones (orden de complejidad O(n!)) son inviables para n grandes.

¿Cómo se relaciona con C(n, k) y combinatoria?▾

El número de combinaciones de n elementos tomados de k en k es C(n, k) = n! / (k! × (n−k)!). Por ejemplo, en un grupo de 30 estudiantes el número de subgrupos de 4 personas es C(30, 4) = 30! / (4! × 26!) = 27 405. La calculadora de combinatoria usa factoriales internamente; aquí calculas el factorial puro.

¿Hay un truco para calcular factoriales sin multiplicar todos?▾

Para valores aproximados, la fórmula de Stirling es una excelente aproximación: n! ≈ √(2πn) × (n/e)ⁿ. Para 10!, da 3 598 696 (real: 3 628 800; error inferior al 1 %). Útil cuando el factorial exacto es demasiado grande para mostrar pero quieres el orden de magnitud. La calculadora interna hace la multiplicación exacta hasta n = 170.

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