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Matemáticas

Calculadora de combinatoria

¿Cuántas combinaciones (o permutaciones) hay de n elementos tomados de k en k?

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Actualizado

Concepto

¿Qué es la combinatoria?

Calcula combinaciones C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!) y permutaciones P(n, k) = n! / (n − k)! para cualquier par de enteros n y k. La calculadora usa el producto descendente n × (n−1) × … × (n−k+1) en vez de los factoriales completos, así que funciona con n grandes sin desbordar el rango numérico. Útil en probabilidad, lotería, conteo combinatorio, análisis de datos y problemas escolares de combinatoria.

Método

¿Cómo se calculan combinaciones y permutaciones?

C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!) · P(n, k) = n! / (n − k)!
  1. Elige tipo: combinación (orden no importa) o permutación (orden importa).
  2. Introduce n (total de elementos) y k (cantidad a tomar). Ambos enteros no negativos con k ≤ n.
  3. Combinaciones: número de subconjuntos de k elementos de un conjunto de n. Permutaciones: número de secuencias ordenadas.
  4. Para n grandes (cientos), la calculadora optimiza el cálculo evitando factoriales intermedios fuera de rango.

¿Por qué este resultado?

  1. FórmulaC(n, k) = n! / (k! · (n − k)!)
  2. SustituciónC(10, 3) = 10! / (3! · 7!)
  3. Resultado120

Casos

Ejemplos de combinaciones y permutaciones

  1. España

    La Primitiva

    En La Primitiva eliges 6 números de 49. El número de combinaciones posibles es C(49, 6) = 13 983 816. Tu probabilidad de acertar al azar es 1 entre casi 14 millones. Como es combinación (el orden no importa: tener 1-2-3 es lo mismo que tener 3-2-1), usamos C, no P.

  2. España

    Comité escolar

    Un instituto de Madrid elige un comité de 5 estudiantes de un grupo de 30. Combinaciones: C(30, 5) = 142 506. Si tu hija fuera elegida, sería una entre más de 142 mil posibilidades — pero como hay 5 puestos, su probabilidad de estar es 5/30 ≈ 16,7 %.

  3. España

    Podio en carrera amateur

    En una carrera popular en Barcelona compiten 50 corredores y se premian los 3 primeros. Como el ORDEN importa (1°, 2°, 3° son distintos premios), son permutaciones: P(50, 3) = 50 × 49 × 48 = 117 600 podios posibles. La probabilidad de acertar exactamente el podio al azar es 1/117 600.

Referencia

Tabla de combinaciones y permutaciones frecuentes

n, kC(n, k)P(n, k)
5, 21020
10, 3120720
20, 515 5041 860 480
49, 6 (Primitiva)13 983 816Muy grande
52, 5 (póker)2 598 960311 875 200
100, 101,73 × 10¹³Muy grande

Aplicaciones

¿Para qué sirve la combinatoria?

  • Calcular la probabilidad de ganar una lotería o juego de azar.
  • Contar arreglos posibles en problemas de probabilidad.
  • Diseñar experimentos con elección aleatoria de muestras.
  • Resolver problemas de combinatoria escolar (secundaria, preparatoria).
  • Calcular el tamaño del espacio muestral en probabilidad.
  • Análisis de algoritmos: complejidad de algoritmos exhaustivos.

Dudas

Preguntas frecuentes sobre combinatoria

¿Qué diferencia hay entre permutación y combinación?

En una permutación el orden importa: P(3, 2) cuenta (A, B) distinto de (B, A) — son 6 permutaciones distintas. En una combinación el orden no importa: C(3, 2) cuenta {A, B} igual que {B, A} — sólo 3 combinaciones. Siempre C(n, k) ≤ P(n, k); específicamente P(n, k) = k! × C(n, k).

¿Cuándo uso cada una?

Permutación → para contar maneras de ORDENAR: podios de carrera (1°, 2°, 3°), contraseñas con orden definido, anagramas de una palabra. Combinación → para contar maneras de SELECCIONAR sin orden: comités, manos de cartas, números de lotería ganadores, equipos deportivos donde no importa quién es titular o suplente.

¿Funciona con n grandes (más de 170)?

Sí, dentro del límite del tipo Number en JavaScript. La calculadora usa el producto descendente n × (n−1) × … × (n−k+1) en lugar de calcular n! completo, así que C(200, 5) se calcula sin problema aunque 200! excede el rango por completo. El límite efectivo está en el resultado final, no en n.

¿Cómo se relaciona con el triángulo de Pascal?

El triángulo de Pascal contiene los coeficientes binomiales C(n, k) ordenados: la fila n tiene los valores C(n, 0), C(n, 1), …, C(n, n). Propiedad principal: cada número es la suma de los dos de arriba (C(n, k) = C(n−1, k−1) + C(n−1, k)). Es la base de la expansión del binomio (a + b)ⁿ.

¿Qué es C(n, 0) y C(n, n)?

C(n, 0) = 1 y C(n, n) = 1 — hay sólo una forma de elegir 0 elementos (la selección vacía) y sólo una de elegir todos los n. C(n, 1) = n y C(n, n−1) = n — n formas de elegir uno solo o n formas de excluir uno solo. Estas identidades son útiles para verificar resultados.

¿Y las combinaciones con repetición?

La fórmula clásica C(n, k) asume elementos DISTINTOS sin repetición. Si los elementos pueden repetirse (por ejemplo, números de un dado), la fórmula es C(n+k−1, k). Por ejemplo, las combinaciones de 3 dados (n=6 caras, k=3): C(6+3−1, 3) = C(8, 3) = 56. Esta calculadora trabaja sólo con la fórmula sin repetición.

¿Para qué sirve en probabilidad?

Para calcular el tamaño del espacio muestral. Por ejemplo, en una baraja de 52 cartas, manos de poker de 5 cartas: C(52, 5) = 2 598 960 manos posibles. Cuantas más combinaciones haya, menor la probabilidad de cada una específica (igual a 1/total si todas son equiprobables).

¿Cuál es el coeficiente binomial?

C(n, k) también se llama coeficiente binomial y se denota (n sobre k) o ⁿCₖ. Aparece en la fórmula del binomio de Newton: (a + b)ⁿ = Σ C(n, k) × aⁿ⁻ᵏ × bᵏ. Los coeficientes 1, 4, 6, 4, 1 de (a + b)⁴ son C(4, 0), C(4, 1), …, C(4, 4).

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